4.4 Сандық тізбектер. Олардың шектері



4.4.1. Сандық тізбектер. Сандық тізбектер математикадағы маңызды ұғымдардың бірі болып табылады. Сондықтан оған тиісті екі анықтаманы келтіреміз.

1o. Егер n − 1,2,3...n... натурал сандарының әр біреуі үшін, x1, x2, x3...xn... сандар жиыны сәйкестендіріліп құралған болса, онда ол сандық тізбек немесе қысқаша тізбек деп аталады және {xn} түрінде белгіленеді.

2o. Өсу ретімен орналасқан натурал сандар жиынына сәйкес алынған, x1, x2, x3...xn... – сандар жиынтығы сандық тізбектер деп аталады және {xn} түрінде белгіленеді. Сонымен, анықтама бойынша, тізбек мына түрде жазылады,


(4.14)


Кей кездерде (4.8) тізбек, қысқаша: {xn}, n =1,2...; немесе {xn}∞1 түрінде де жазылады. Мұндағы x1, x2 .... – тізбектің мүшелері, xn − тізбектің жалпы (кез келген) мүшесі деп аталады.

Тізбекке мысал ретінде:



осылар сияқты мысалдарды, тағы да көптеп қарастыруға болады.

Тізбектің жалпы мүшесі белгілі болса, онда оның кез келген мүшесін алуға болады, сол сияқты керісінше, тізбектің бастапқы бірнеше мүшесі белгілі болса, онда оның жалпы мүшесін жазуға болады. Мысалы, айталық, xn=n2 тізбектің жалпы мүшесі, онда {xn}={12,22,32...n2...}. Сол сияқты, керісінше, тізбектің бастапқы мүшелері 1,1/1·2,1/1·2·3,1/1·2·3·4 болсын. Онда, {xn} тізбегінің жалпы мүшесі {xn}=1/n!=1/1·2·3...n . Демек,

Айталық, {xn} тізбегі өзінің бастапқы екі мүшесі x1=1, x2=1 және рекурентті формула xn=xn-1+xn-2,n≥3 теңдігі арқылы берілген болсын. Мұндағы рекурентті формула бастапқы екі мүшені байланыстырады. Демек, {xn} тізбегін құру үшін алдыңғы екі мүшесін білсек жеткілікті. Сонымен, {xn}={1,1,2,3,5,8,13,21,34...} − әрі қызық, әрі маңызды Фибоначчи* сандары деп аталатын тізбекті аламыз. Егер алдыңғы мысалдарда тізбектің жалпы мүшесін табу оңай болса, соңғы Фибоначчи сандарынан құралған тізбектің жалпы мүшесін табу оңай бола қоймайды.

Егер берілген {xn} тізбегі мүшелерінен теріп жаңа тізбек {xnk},=k=1,2... құрайтын болсақ, онда {xnk} − {xn} тізбегінің тізбекшесі немесе ішкі тізбегі деп аталады. Мысал үшін, 2o-тізбектен, {1,1,1...}, {-1,-1,-1...} − {(-1)n} тізбегінің тізбекшелері болып табылады.

Егер, {xn} тізбегінің кез келген мүшесі үшін R∋C нақты саны табылып, |xn|≤C (C>0) қатынасы орындалатын болса, ондай тізбек шектелген деп аталады. Мысал үшін, {sin n}, {cos n} тізбектері үшін C=1 яғни |sin n|≤1, |cos n|≤1.

Ескерту. Тізбектердің жоғарыдан, я төменнен шектелгендігі немесе шектелмегендігі жөнінде жиындардың келтірілген анықтамаларын қайталауға тура келеді, сондықтанда оларды бермейміз.

Егер, қандай да үлкен болмасын A>0 саны табылып, белгілі бір n>N нөмірден бастап {xn} тізбегінің барлық мүшелері үшін |xn|>A қатынасы орындалатын болса, онда {xn} тізбегі шексіз (ақырсыз) үлкен деп аталады.

Ескерту. Шексіз үлкен тізбектің шектелмеген екендігі белгілі. Алайда, шектелмеген тізбек шексіз үлкен бола алмауы мүмкін. Мысалы, {xn}={1,2,1,3,...1,n,1,n+1,...} − шектелмеген, бірақ шексіз үлкен емес, себебі белгілі бір n>N нөмірден бастап барлық элементтер үшін |xn|>A (яғни А>1) қатынасы орындалмайды.

Егер мейлінше аз ε>0 саны үшін n>N нөмірі табылып, тізбектің қалған элементтері үшін |αn|<ε қатынасы орындалатын болса, онда {αn} тізбегі шексіз (мейлінше) аз деп аталады.


Айталық, xn және yn тізбектері берілсін. Берілген тізбектердің қосындысы, айырымы, көбейтіндісі және қатынасы деп, сәйкес {xn+yn} {xn-yn} {xn·yn} {xn/yn}, yn≠0 тізбектерін айтамыз.

4.4. Теорема. Егер, {xn} (xn≠0) − мейілінше үлкен тізбек болса, онда {αn} = {1/xn} тізбегі мейілінше аз тізбек болады, және керісінше, егер {αn} (αm≠0)− мейілінше аз болса, онда {xn} = {1/αn} − мейілінше үлкен тізбек болады.

Дәлелдеуі. Айталық, {xn} − мейілінше үлкен тізбек болсын. Енді мейілінше кіші (аз) ε>0 санын алайық. Онда, A=1/ε − мейілінше үлкен (әрине ε-ға байланысты) сан. Ендеше, мейілінше үлкен тізбектіің анықтамасы бойынша, A саны үшін N нөмірі табылып, қалған n>N тізбектің мүшелері үшін |xn|>A болады. Онда, |αn|=|1/xn|=1/|xn|<1/A=ε болады, яғни барлық n>N үшін |αn|<ε. Демек, {1/xn}={αn} тізбегі мейілінше аз.

Теореманың екінші бөлігін дәлелдеуді оқушыларға тапсырайық.


Мейілінше үлкен және мейілінше аз тізбектердің қасиеттері бірдей болғандықтан, олардың біреуін ғана атап өтейік: 1o. Екі немесе одан да көп мейілінше аз тізбектердің қосындысы (айырымы) мейілінше аз тізбек болады; 2o. Екі немесе одан да көп мейілінше аз тізбектердің көбейтіндісі, мейілінше аз тізбек болады; 3o. Шектелген тізбектің мейілінше аз тізбекке көбейтіндісі, мейілінше аз тізбек болады; 4o. Егер мейілінше аз тізбектің барлық мүшелері қатарынан бірдей C санына тең болса, онда C=0, яғни {αn}={0}.


4.4.2. Тізбектің шегі. Айталық, {xn} − тізбегі берілсін. Енді кез келген мейілінше кіші (аз) ε>0 саны үшін N(ε) нөмірі табылып, барлық n>N болған


(4.15)


қатынасы орындалатын болса, онда а саны берілген {xn} тізбегінің шегі деп аталады және


(4.16)


Осы анықтаманы, қысқаша, квантор тілінде келтірейік:



Егер, {xn} тізбегінің ақырлы шегі бар болса, онда тізбек жинақты, ал жоқ болса, тізбек жинақсыз деп аталады.

Егер




{xn} тізбегі мейілінше (шексіз) үлкен (аз) деп аталады.

Егер, n→∞ да {xn} тізбегінің шегі а болса, онда оны xn→∞ түрінде де жазуға болады.

Жоғарыдағы анықтамадан, ε>0 қанша кішкене (аз) деп алғанмен, анықтамадағы N-нен бастап қалған тізбектің n≥N мүшелерінің а санынан алшақтығы ε-нан аспайды, яғни |xn|≤ε. Демек, n өскен сайын тізбектің xn мүшелері а санына мейілінше (шексіз) жақындайды. Бұдан, анықтамадағы «кез келген» деген сөздің ерекше маңызды екендігін көреміз. (4.7-сурет).



Нақты сандардың абсолют шамасын еске алсақ, (4.15) қатынастан ∀n≥N үшін,


(4.17)


Бұл алынған (4.15), (4.16) және (4.18) өрнектерден, берілген {xn} тізбегінің n≥N мүшелері Uε(a) − ε-маңайында жататындығын көруге болады (4.7-сурет).

М.5*. Берілген {xn}={n/(n+1)} тізбегінің шегі a=1 болатындығын көрсетейік.

Шешуі. Айталық, ε>0 саны мейілінше аз болсын. Енді тізбек шегінің (4.9) анықтамасы бойынша, n→ε

Тізбек шегінің анықтамасы бойынша, ε>0 саны үшін табылатын N нөміріне көңіл аударайық. Ол үшін, 1/(n+1)<ε теңсіздігін қарастырамыз, яғни

Демек, N нөмірі үшін (1-ε)/ε санының бүтін бөлігін аламыз, N=[(1-ε)/ε]. Онда кез келген n>N үшін (4.15) теңсіздігі орындалады.

Айталық, ε=0,01 болсын. Онда,



Сонымен, n>99-дан бастап (4.15) теңсіздік орындалады. Егерде ε=0,001 деп алсақ, онда N=[(1-0,001)/0,001]=999 болады да, n>N=999 үшін (4.9) теңсіздігі орындалады. Ендеше {n/(n+1)} тізбегінің шегі − a=1 болады.

Енді а=2 саны берілген тізбектің шегі бола алмайтындығын көрсетейік. Ол үшін (4.15) қатынасты қарастырайық.



Бұл қатынастын ∀n∈N саны үшін (n+2)/(n+1)>1 екендігі айқын. Демек, берілген тізбектің шегі 2 болмайды. Мысал үшін, ε=1/2 болса, (4.15) қатынас ешқашан орындалмайды.

4.4.3. Жинақты тізбектердің қасиеттері. 1o. Жинақты тізбектердің бір ғана шегі болады.

2o. Егер тізбек жинақты және шегі а болса, онда одан бөлініп алынған тізбекшелердің де (ішкі тізбектерлің де) шегі бар және ол шек а санына тең.

3o. Егер тізбек жинақты болса, онда ол шектелген.

Ескерту. Жинақты тізбекте 3o яғни тізбектің шектелгендігінен оның жинақтылығы ылғи да бола бермейді. Мысал үшін, {xn}={(-1)n} тізбегі шектелген. Бірақ тізбектің шегі жоқ. Сондықтан, тізбектің шектелгендігі, оның жинақтылығының тек қажетті шарты болып табылады.

4o. Егер болса, онда белгілі бір N нөмірден бастап тізбектің қалған мүшелерінің таңбасы, а-ның таңбасымен бірдей болады.

5o. Айталық, болсын. Егер белгілі бір N нөмірден бастап xn≥yn қатынасы орындалатын болса, онда a≥b қатынасы орындалады.

6o. Егер {xn}, {yn}, {zn} тізбектері үшін xn≥yn≥zn қатынастары орындалып болса, онда .

7o. Егер {xn}, {yn} тізбектері жинақты және болса, онда:


Ескерту. Жинақты тізбектердің бұл қасиеттерін теорема түрінде дәлелдеуге болады

4.4.4. Монотонды тізбектер. Айталық, {xn} тізбегі берілсін. Егер берілген тізбектің мүшелері үшін:


Монотонды өсетін тізбектер өзінің бірінші мүшесімен – төменнен, ал монотонды кемитін тізбектер өзінің бірінші мүшесімен – жоғарыдан шектелген болып табылады. Мысалы, {(-1)n} тізбегі шектелген, бірақ жинақты емес. Ал монотонды тізбектер үшін, оның шектелгендігі жинақтылықтың жеткілікті шарты болып табылады.

4.5. Теорема. Монотонды {xn} тізбегінің жинақты болуы үшін, оның шектелген болуы, қажетті және жеткілікті.

Бұл кезде егер монотонды тізбек өсетін (кемитін) болса, онда


(4.18)


Дәлелдеуі. Қажеттілігі. Жинақтылықтың 3o қасиеті бойынша, берілген тізбек шектелген.

Жеткіліктілігі. Айталық, анығырақ болу үшін {xn} тізбегі монотонды өсетін, шектелген және болсын. Онда жиынның дәл жоғарғы шегіінің қасиеті бойынша ∀ε>0 саны үшін xn мүшесі табылып A-ε<xN<A қатынастары орындалады, ал {xn} монотонды өсетін тізбек болғандықтан A-ε<xN<xN+1<xM+2<x...<A қатынастары орындалады, яғни белгілі бір N нөмірден бастап, берілген {xn} тізбек мүшелері үшін |xn-A|<ε қатынасы орындалады. Демек,

Монотонды кемитін тізбек үшін теореманың дәлелдеуін оқушылардың өзіне қалдырайық.

4.6. Теорема. Егер N∋∀n үшін an>0, {an} монотонды тізбек және бар болса, онда:





ә) Егер (4.20) шарт орындалса, N∋∀n an+1>an, яғни {an} тізбегі монотонды қатаң өсетін тізбек болып табылады. Енді ε санын, 0<ε<q-1 қатынастары орындалатындай етіп алсақ, а) бөлігіндегі сияқты, (q-1)>1 болғандықтан



Теорема дәлелденді.

4.4.5. е саны. Айталық жалпы мүшесі болатын


(4.21)


сандар тізбегі берілсін. Осы тізбектің жинақты болатындығын дәлелдейік.

Дәлелдеуі. Берілген (4.15) тізбектің, өзінің бірінші мүшесі (1+1)1=2, яғни төменнен шектелгендігі бірден көзге түседі. Енді тізбектің жоғарыдан шектелгенін және монотонды өсетіндігін көрсетсек, онда оның 4.5 теорема бойынша жинақты екендігін көреміз. Ол үшін Ньютон биномының



Дәл осы сияқты, тізбектің n+1-элементін жазайық.


(2)


Бұл алынған тізбектің xn, xn+1 мүшелерінің 0<k<n болатын кезкелген k-қосылғыштарын алатын болсақ, тізбектің xn мүшесіндегі k-қосылғыш –



Бір көбейткішке артық болады. Демек, xn<xn+1 болады да, (4.16) тізбектің монотонды өсетіндігін көреміз. Енді берілген тізбектің жоғарыдан шектелгенін көрсетейік. Ол үшін тізбектің xn-мүшесіндегі әр бір жақша бірден кем және 1/n!<1/2n-1 (n>2) қатынасын ескерсек, онда


(5)


Бұл (5) қатынастың оң жағындағы мүшелердің қосындысы – еселігі q=1/2 болатын, кемімелі геометриялық прогрессия, ендеше, оның қосындысы болғандықтан,



Демек, берілген тізбек жоғарыдан C=3 санымен шектелген. Сонымен, берілген (4.21) тізбек монотонды өсетін және жоғарыдан шектелген. Ендеше, 4.5 теорема бойынша оның ақырлы шегі бар. Осы шек е саны деп аталады, яғни


(4.23)


Бұл алынған е санының теория мен практикада алатын орыны өте маңызды және оның 2≤e≤3 екендігін көрдік. Оған қоса, e саны иррационал сан болатындығы дәлелденген. Қажет болса жоғары математикаға арналған оқу құралдарынан тауып алуға болады. Біз оның тек сан мәнінің үтірден кеінгі бірнеше мүшесін ғана келтірейік. Сонымен,


− иррационал сан.

Ескерту. Жоғарыдағы алынған е саны натурал логарифімнің негізі болып саналады. Сондықтан негізгі a>0 санының логарифімі арасындағы байланысты көрсете кетейік. Натурал логарифм − lnx=logx түрінде белгіленеді. Логарифм анықтамасы бойынша


(4.24)


Мұндағы, М − аудару модулі деп аталады.

4.4.6. Бірінің ішінде бірі жатқан (іштескен) кесінділер. Айталық, {[an,bn]}={[a1,b1],[a2,b2]...[an,bn],..} кесінділер тізбегі берілсін және бұл кесінділер бірінің ішінде жататын (іштескен), яғни ∀n үшін


(1)


Қатынастары орындалатын болсын.

Егер болса, онда берілген кесінділер өзара іштескен деп аталады.

4.7. Теорема. (Кантор*). Кез келген өзара іштескен кесінділер тізбегі үшін, барлығының ішінде орналасқан c мүшесі табылып, an≤c≤bn қатынасы орындалады.

Дәлелдеуі. Іштескен кесінділер тізбегінің анықтамасы және (1) қатынастардан, кесінділер тізбегінің сол жақтарын құрайтын {an} сандар тізбегі –



монотонды өспейтін тізбектер құрайды.

Жоғарыдағы (2) және (3) қатынастардан олардың сәйкес an≤b1 − жоғарыдан және a1≤bn − төменнен шектелгендігін көреміз. Ендеше, 4.5 теорема бойынша, ол тізбектердің ақырлы шектері бар, яғни



Бұдан, c''=c' яғни {an}, {bn} тізбектерінің шектері ортақ, яғни c'=c''=c болатындығын көреміз. Демек, an≤c≤bn қатынастары орындалады. Енді екі {an}, {bn} тізбектерінің ортақ шегі болатын c саны жалғыз екендігін көрсетейік. Айталық, іштескен кесінділер тізбегі {[an,bn]} үшін, екінші ортақ шек c1 (c1≠c) болсын делік. Онда кез келген n∈N үшін, bn-an≥|c1-c| қатынасы орындалады. Демек, Ал бұл теорема шартына қайшы. Олай болса c1=c яғни c жалғыз болады. Теорема дәлелденді.

Ескерту. Егер кесінділер орынына интервалдар (an,bn), n=1,2,... алатын болсақ, онда теоремаға қарсы болады. Мысал үшін, іштескен аралықтар {[an,bn]} тізбегін алатын болсақ,


(6)


Оларға ортақ с санын таба аламаймыз. Шынында да, (0,1) аралығынан қандай да бір с санын алсақ та, N нөмірі табылып, n>N болғанда 1/2n<c қатынасы орындалады да, c саны (0,1/2N) интервалынан бастап (6) тізбектің сыртында қалады. Сол сияқты о нүктесі де интервалдың сыртында қалып қояды.

М.6*. Тізбек шегінің анықтамасын пайдаланып, өте жиі қолданылатын, тізбегінің шегі бірге тең екендігін дәлелдейік.

Шешуі. (4.9) анықтама бойынша, ε>0 саны үшін N нөмірі табылып, барлық n>N үшін |-1|<ε орындалатындығын көрсетейік. Ал, >1 болғандықтан, Ньютон биномының формуласын пайдаланып,



n>1+(2/ε2) болғанда, n<(1+ε)n қатынасы орындалатындығын көрсетсек жеткілікті. Шынында да, айталық, n>|1+ε|n болсын. Онда теңсіздіктің оң жағына Ньютон биномының формуласын пайдалансақ, . Ендеше, n≥(1+ε)n теңсіздігі орындалмайды. Демек, n<(1+ε)n. яғни -1<ε

Сонымен, N=[1+2/ε2] болса, |-1|<ε қатынасы ∀n>N=[1+2/ε2] үшін орындалады. Ендеше, ε>0 саны үшін (4.15) анықтама бойынша |-1|<ε орындалып, теңдігін аламыз.

М.7*. − шекті есептейік.

Шешуі. Егер берілген бөлшектен бірден шекке көшсек, оның алымы мен бөлімі ∞-ке ұмтылады, яғни жинақты тізбектердің в) қасиетін пайдалануға болмайды. Сондықтан, басқаша тәсілге көшеміз. Берілген тізбектің алымы мен бөліміндегі n-нің ең үлкен дәрежесін жақша сыртына шығару арқылы түрлендіреміз



М.8*. − шекті есептейік.

Шешуі. Берілген бөлшектің алымы мен бөлімінен n-нің ең үлкен дәрежесін жақша сыртына шығарсақ:



Мұндағы, (2-3/n) тізбегі шектелген. Ал, мейілінше аз шама. Демек, мейілінше аз шаманың 3o - қасиеті бойынша,



М.9*. − шекті есептейік.

Шешуі. Жоғарыдағы түрлендірулерді қолдану арқылы



Мұндағы, {3n+4/n2} шексіз үлкен, шектелген тізбек, ендеше, олардың көбейтіндісі (мейілінше аз шаманың 3o - қасиетін, мейілінше үлкенге ауыстырсақ), мейілінше үлкен тізбек болады.

Ескерту. Жоғарыдағы 7*,8*,9*-мысалдардан, n→∞ ұмтылған кездегі бөлшектің шегін табу үшін, n-нің дәрежелерін салыстыру арқылы келесі тұжырымдарға келеміз. Егер, алымындағы n-нің дәрежесі p, бөліміндегі n-нің дәрежесі q болса,


онда: a) p=q болғанда, бөлшектің шегі ондағы n-дердің ең үлкен дәрежелері коэффиценттерінің қатынасы; ә) p<q болғанда, бөлшектің шегі мейілінше аз шамаға; б) p>q болғанда, бөлшектің шегі мейілінше үлкен шамаға тең болады.


М.10*. − шекті есептейік.

Шешуі. М.9* сияқты тізбектерінің шектері мейілінше үлкен шамалар. Сондықтан, айырымның шектері шектердің айырымына тең (3 пункт 7(а)-қасиет) деген қорытынды айта аламыз. Бұл тығырықтан шығу үшін, ортақ бөлімге келтіріп, бөлшектің алымы мен бөлімін n-нің ең үлкен дәрежесіне бөлеміз.



М.11*. Жалпы мүшесі xn=n!/nn болатын тізбектің жинақты және монотонды екендігін көрсетіп, шегін табайық.

Шешуі. Берілген тізбекті жазайық.



Бұдан, . Демек, берілген тізбек монотонды кемімелі және жоғарыдан шектелген. Ендеше, шектелген монотонды тізбектің шегі бар (4.6-теорема).

Енді тізбектің шегін табайық. Айталық, тізбектің шегі а болсын және барлық xn>0 болғандықтан, a>0 болады.

Бернулли теңсіздігін (§4.1.4 пункт, М.2*) пайдаланамыз, яғни



Осы теңсіздікке n→∞ кезде шекке көшсек демек, a=0.

Сонымен,

М.12*. − шекті есептейік.

Шешуі. Бұл шекті табу үшін e санын (4.24) қолданамыз



М.13*. Ортасында 6·(1-1,01-100) өрнегі жататын бүтін сандар тізбегін табайық.

Шешуі. Берілген тізбекті түрлендірейік.